Hồng y Siri được xem là một ứng cử viên mạnh trong mật nghị hồng y năm 1958, nhằm bầu chọn một người kế nhiệm để thay thế cho cố Giáo hoàng Piô XII.[5] Vào tối ngày 26 tháng 10, ngày đầu tiên của cuộc bầu cử, rõ ràng là khói trắng đã được nhìn thấy xuất phát từ ống khói của nhà nguyện Sistine, một tín hiệu truyền thống cho đám đông ở quảng trường bên ngoài mà một giáo hoàng đã được bầu.[6] Tuy nhiên, không có thông báo nào được đưa ra, và sau khoảng nửa giờ, khói trở thành màu đen, cho thấy không có kết quả. Đài phát thanh Vatican đã sửa báo cáo của mình.[5]

Vào cuối những năm 1980, một người Mỹ theo Kitô truyền thống là Gary Giuffre bắt đầu mô tả niềm tin rằng Hồng y Siri là vị giáo hoàng đích thực, và ông bị giam giữ trong một tu viện ở Rôma.[5] Theo Giuffre và các tín đồ của ông, khói trắng đã được nhìn thấy vào ngày 26 Tháng 10 năm 1958 thực sự có nghĩa là một vị giáo hoàng đã được bầu, và Tân Giáo hoàng là Siri, nhưng Siri đã bị buộc phải rời bỏ vai trò giáo hoàng khi đối mặt với những mối đe dọa đe dọa từ bên ngoài mật nghị. Roncalli, người mà họ tuyên bố là một người của Hội Tam Điểm, đã được bầu thay thế, lấy tên là Gioan XXIII.[5] Họ cũng cho rằng tương tự xảy ra tại cuộc họp năm 1963 sau cái chết của Giáo hoàng Gioan XXIII, một lần nữa khói trắng được nhìn thấy, và một lần nữa nó chỉ ra rằng Siri đã được bầu chọn. Tuy nhiên, lại một lần nữa, khói chuyển sang màu đen, dưới sự đe dọa từ bên ngoài mật nghị, một Hồng y khác được bầu làm Giáo hoàng là Giovanni Battista Montini, người đã lấy tên hiệu Giáo hoàng Phaolô VI.[5]

Bản thân Siri đã không bao giờ đưa ra những tuyên bố nào về luận điểm này, và chấp nhận thẩm quyền của tất cả các giáo hoàng được bầu chọn trong cuộc đời của ông. Ông được bổ nhiệm làm Chủ tịch Hội đồng Giám mục Ý bởi Giáo hoàng Gioan XXIII vào năm 1959, và giữ chức vụ dưới thời Giáo hoàng Phaolô VI cho đến năm 1964.[7] Ông là ứng cử viên tiềm năng một lần nữa trong Mật nghị Hồng y tháng 8 năm 1978 sau khi Giáo hoàng Phaolô VI qua đời. Tại mật nghị, ông được cho là ứng viên đã dẫn đầu trong các vòng bỏ phiếu sớm, nhưng cuối cùng mật nghị đã chọn Hồng y Albino Luciani, với tông hiệu Giáo hoàng Gioan Phaolô I,[8] và hai tháng nữa sau đó vào mật nghị Hồng y vào tháng 10 năm 1978, nơi ông cũng được cho là đã có một vài phiếu của vòng bầu cử trước khi cuộc bầu cử kết thúc bằng việc hồng y Karol Wojtyła đắc cử, trở thành Giáo hoàng Gioan Phaolô II.[9] Hồng y Siri chưa bao giờ đưa ra bất cứ một tham chiếu nào đến "luận điểm Siri", cũng không có bất kỳ đề cập nào về nó trong tờ New York Times,[10] trong tiểu sử được viết bởi Raimondo Spiazzi,[11] hoặc trong một bài phát biểu của Giulio Andreotti về dịp kỉ niệm một trăm năm ngày sinh của Siri vào năm 2006.[12]